Kanonkugle problem -
Cannonball problem

Fra Wikipedia, den gratis encyklopædi
En firkantet pyramide af kanonkugler i en firkantet ramme

I matematik figurate numre , den kanonkugle problemet spørger hvilke numre er både firkantede og firkantet pyramideform . Problemet kan angives som: givet et kvadratisk arrangement af kanonkugler, for hvilken størrelse kvadrater kan disse kanonkugler også arrangeres i en firkantet pyramide. Tilsvarende hvilke kvadrater, der kan repræsenteres som summen af ​​på hinanden følgende firkanter, startende fra 1.

Formulering som en diofantinligning

Når kanonkugler stables inden for en firkantet ramme, er antallet af bolde et firkantet pyramidetal; Thomas Harriot gav en formel for dette nummer omkring 1587 og besvarede et spørgsmål stillet til ham af Sir Walter Raleigh om deres ekspedition til Amerika. Édouard Lucas formulerede kanonkugleproblemet som en diofantisk ligning

eller

Opløsning

4900 kanonkugler kan arrangeres som enten en firkant af side 70
eller en firkantet pyramide af side 24

Lucas formodede, at de eneste løsninger var N = 1, M = 1 og N = 24, M = 70 ved hjælp af enten 1 eller 4900 kanonkugler. Det var først i 1918, at GN Watson fandt et bevis for dette faktum ved hjælp af elliptiske funktioner . For nylig er der offentliggjort elementære beviser .

Ansøgninger

Opløsningen N = 24, M = 70 kan bruges til konstruktion af Leech-gitteret . Resultatet har relevans for den bosoniske strengteori i 26 dimensioner.

Selvom det er muligt at flise en geometrisk firkant med ulige firkanter , er det ikke muligt at gøre det med en løsning på kanonkugleproblemet. Kvadraterne med sidelængder fra 1 til 24 har arealer svarende til kvadratet med sidelængde 70, men de kan ikke arrangeres til at flise det.

De eneste tal, der samtidig er trekantede og firkantede pyramideformede, er 1, 55, 91 og 208335.

Der er ingen tal (bortset fra den trivielle løsning 1), der både er tetraeder og firkantede pyramideformede.

Se også

Referencer