Faulhabers formel -

Faulhaber's formula

${\ displaystyle \ sum _ {k = 1} ^ {n} k ^ {p} = {1 \ over p + 1} \ sum _ {j = 0} ^ {p} (- 1) ^ {j} { p + 1 \ vælg j} B_ {j} n ^ {p + 1-j},}$

ved hjælp af Bernoulli-nummeret af den første slags, for hvilken

${\ displaystyle B_ {1} = - {\ frac {1} {2}}.}$

For eksempel som

${\ displaystyle B_ {0} = 1, ~ B_ {1} = 1/2, ~ B_ {2} = 1/6, ~ B_ {3} = 0, ~ B_ {4} = - 1/30,}$

man har for

${\ displaystyle {\ begin {align} 1 ^ {4} + 2 ^ {4} + 3 ^ {4} + \ cdots + n ^ {4} & = {1 \ over 5} \ sum _ {j = 0 } ^ {4} {5 \ vælg j} B_ {j} n ^ {5-j} \\ & = {1 \ over 5} \ venstre (B_ {0} n ^ {5} + 5B_ {1} n ^ {4} + 10B_ {2} n ^ {3} + 10B_ {3} n ^ {2} + 5B_ {4} n \ højre) \\ & = {\ frac {1} {5}} n ^ { 5} + {\ frac {1} {2}} n ^ {4} + {\ frac {1} {3}} n ^ {3} - {\ frac {1} {30}} n. \ End { justeret}}}$

Faulhaber selv kendte ikke formlen i denne form, men beregnede kun de første sytten polynomer; den generelle form blev etableret med opdagelsen af Bernoulli-numrene (se afsnittet Historie ). Afledningen af ​​Faulhabers formel er tilgængelig i The Book of Numbers af John Horton Conway og Richard K. Guy .

Der er også et lignende (men på en eller anden måde enklere) udtryk: ved at bruge teleskopidéen og binomialsætningen får man Pascals identitet :

${\ displaystyle {\ begin {justeret} (n + 1) ^ {k + 1} -1 & = \ sum _ {m = 1} ^ {n} \ venstre ((m + 1) ^ {k + 1} - m ^ {k + 1} \ højre) \\ & = \ sum _ {p = 0} ^ {k} {\ binom {k + 1} {p}} (1 ^ {p} + 2 ^ {p} + \ prikker + n ^ {p}). \ slut {justeret}}}$

Dette giver især eksemplerne nedenfor - tag

${\ displaystyle {\ begin {align} n ^ {k + 1} = \ sum _ {m = 1} ^ {n} \ left (m ^ {k + 1} - (m-1) ^ {k + 1 } \ right) = \ sum _ {p = 0} ^ {k} (- 1) ^ {k + p} {\ binom {k + 1} {p}} (1 ^ {p} + 2 ^ {p } + \ prikker + n ^ {p}). \ slut {justeret}}}$

${\ displaystyle 1 + 2 + 3 + \ cdots + n = {\ frac {n (n + 1)} {2}} = {\ frac {n ^ {2} + n} {2}}}$

(de trekantede tal )

${\ displaystyle 1 ^ {2} + 2 ^ {2} + 3 ^ {2} + \ cdots + n ^ {2} = {\ frac {n (n + 1) (2n + 1)} {6}} = {\ frac {2n ^ {3} + 3n ^ {2} + n} {6}}}$

(de firkantede pyramidetal )

${\ displaystyle 1 ^ {3} + 2 ^ {3} + 3 ^ {3} + \ cdots + n ^ {3} = \ left [{\ frac {n (n + 1)} {2}} \ højre ] ^ {2} = {\ frac {n ^ {4} + 2n ^ {3} + n ^ {2}} {4}}}$

(de trekantede tal i kvadrat)

${\ displaystyle {\ begin {align} 1 ^ {4} + 2 ^ {4} + 3 ^ {4} + \ cdots + n ^ {4} & = {\ frac {n (n + 1) (2n + 1) (3n ^ {2} + 3n-1)} {30}} \\ & = {\ frac {6n ^ {5} + 15n ^ {4} + 10n ^ {3} -n} {30}} \ end {justeret}}}$

${\ displaystyle {\ begin {align} 1 ^ {5} + 2 ^ {5} + 3 ^ {5} + \ cdots + n ^ {5} & = {\ frac {[n (n + 1)] ^ {2} (2n ^ {2} + 2n-1)} {12}} \\ & = {\ frac {2n ^ {6} + 6n ^ {5} + 5n ^ {4} -n ^ {2} } {12}} \ end {justeret}}}$

${\ displaystyle {\ begin {align} 1 ^ {6} + 2 ^ {6} + 3 ^ {6} + \ cdots + n ^ {6} & = {\ frac {n (n + 1) (2n + 1) (3n ^ {4} + 6n ^ {3} -3n + 1)} {42}} \\ & = {\ frac {6n ^ {7} + 21n ^ {6} + 21n ^ {5} - 7n ^ {3} + n} {42}} \ end {justeret}}}$

Fra de tidligere eksempler får vi:

${\ displaystyle \ sum _ {i = 1} ^ {n} i ^ {0} = n}$

${\ displaystyle \ sum _ {i = 1} ^ {n} i ^ {1} = {1 \ over 2} n + {1 \ over 2} n ^ {2}}$

${\ displaystyle \ sum _ {i = 1} ^ {n} i ^ {2} = {1 \ over 6} n + {1 \ over 2} n ^ {2} + {1 \ over 3} n ^ {3 }}$

${\ displaystyle \ sum _ {i = 1} ^ {n} i ^ {3} = {1 \ over 4} n ^ {2} + {1 \ over 2} n ^ {3} + {1 \ over 4 } n ^ {4}}$

${\ displaystyle \ sum _ {i = 1} ^ {n} i ^ {4} = - {1 \ over 30} n + {1 \ over 3} n ^ {3} + {1 \ over 2} n ^ { 4} + {1 \ over 5} n ^ {5}}$

${\ displaystyle \ sum _ {i = 1} ^ {n} i ^ {5} = - {1 \ over 12} n ^ {2} + {5 \ over 12} n ^ {4} + {1 \ over 2} n ^ {5} + {1 \ over 6} n ^ {6}}$

${\ displaystyle \ sum _ {i = 1} ^ {n} i ^ {6} = {1 \ over 42} n- {1 \ over 6} n ^ {3} + {1 \ over 2} n ^ { 5} + {1 \ over 2} n ^ {6} + {1 \ over 7} n ^ {7}}$

At skrive disse polynomer som et produkt mellem matricer giver

${\ displaystyle {\ begin {pmatrix} \ sum _ {i = 1} ^ {n} i ^ {0} \\\ sum _ {i = 1} ^ {n} i ^ {1} \\\ sum _ {i = 1} ^ {n} i ^ {2} \\\ sum _ {i = 1} ^ {n} i ^ {3} \\\ sum _ {i = 1} ^ {n} i ^ { 4} \\\ sum _ {i = 1} ^ {n} i ^ {5} \\\ sum _ {i = 1} ^ {n} i ^ {6} \\\ end {pmatrix}} = G_ {7} \ cdot {\ begin {pmatrix} n \\ n ^ {2} \\ n ^ {3} \\ n ^ {4} \\ n ^ {5} \\ n ^ {6} \\ n ^ {7} \\\ ende {pmatrix}} \ qquad {\ text {hvor}} \ qquad G_ {7} = {\ begynde {pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \ 0 {1 \ over 2} & {1 \ over 2} & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ {1 \ over 6} & {1 \ over 2} & {1 \ over 3} & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & {1 \ over 4} & {1 \ over 2} & {1 \ over 4} & 0 & 0 & 0 \\ - {1 \ over 30} & 0 & {1 \ over 3} & {1 \ over 2} & {1 \ over 5} & 0 & 0 \\ 0 & - {1 \ over 12} & 0 & {5 \ over 12} & {1 \ over 2} & {1 \ over 6} & 0 \\ {1 \ over 42} & 0 & - {1 \ over 6} & 0 & {1 \ over 2} & {1 \ over 2} & {1 \ over 7} \\ \ end {pmatrix}}}$

Overraskende giver invertering af matrixen for polynomiske koefficienter noget mere kendt:

${\ displaystyle G_ {7} ^ {- 1} = {\ begin {pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ - 1 & 2 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & -3 & 3 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ - 1 & 4 & -6 & 4 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & -5 & 10 & -10 & 5 & 0 & 6 & 0 & 0 \\ 1 & -7 & 21 & -35 & 35 & -21 & 7 \\\ slut {pmatrix}}}$

${\ displaystyle A_ {7}}$

${\ displaystyle A_ {7} = {\ begin {pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 2 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 3 & 3 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 4 & 6 & 4 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 5 & 10 & 10 & 5 & 0 & 0 & 0 & 1 & 6 & 15 & 6 & 15 & 6 & 15$

Lad være matrixen opnået ved at ændre tegnene på posterne i ulige diagonaler, dvs. ved at erstatte med . Derefter

${\ displaystyle {\ overline {A}} _ {7}}$

${\ displaystyle G_ {7} ^ {- 1} = {\ overline {A}} _ {7}.}$

, man har . Det er således muligt at opnå koefficienterne for polynomierne af summen af ​​kræfter for successive heltal uden at ty til antallet af Bernoulli, men ved at vende matricen let fås fra trekanten af ​​Pascal.

${\ displaystyle G_ {m} ^ {- 1} = {\ overline {A}} _ {m}.}$

Man har også

${\ displaystyle A_ {7} ^ {- 1} = {\ overline {G}} _ {7} = {\ begin {pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ {1 \ over 2} & {1 \ over 2} & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ {1 \ over 6} & {1 \ over 2} & {1 \ over 3} & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & {1 \ over 4} & {1 \ over 2} & {1 \ over 4} & 0 & 0 & 0 \\ {1 \ over 30} & 0 & {1 \ over 3} & {1 \ over 2} & {1 \ over 5} & 0 & 0 \\ 0 & {1 \ over 12} & 0 & {5 \ over 12} & {1 \ over 2} & { 1 \ over 6} & 0 \\ {1 \ over 42} & 0 & {1 \ over 6} & 0 & {1 \ over 2} & {1 \ over 2} & {1 \ over 7} \ end {pmatrix}},}$

hvor fås ved at fjerne minustegnene.

${\ displaystyle {\ overline {G}} _ {7}}$

Bevis med eksponentiel genereringsfunktion

Lade

${\ displaystyle S_ {p} (n) = \ sum _ {k = 1} ^ {n} k ^ {p},}$

angive den betragtede sum for heltal

${\ displaystyle p \ geq 0.}$

Definer følgende eksponentielle genereringsfunktion med (oprindeligt) ubestemt

${\ displaystyle z}$

${\ displaystyle G (z, n) = \ sum _ {p = 0} ^ {\ infty} S_ {p} (n) {\ frac {1} {p!}} z ^ {p}.}$

Vi finder

${\ displaystyle {\ begin {align} G (z, n) = & \ sum _ {p = 0} ^ {\ infty} \ sum _ {k = 1} ^ {n} {\ frac {1} {p !}} (kz) ^ {p} = \ sum _ {k = 1} ^ {n} e ^ {kz} = e ^ {z}. {\ frac {1-e ^ {nz}} {1- e ^ {z}}}, \\ = & {\ frac {1-e ^ {nz}} {e ^ {- z} -1}}. \ slut {justeret}}}$

Dette er en hel funktion i, så det kan anses for at være et hvilket som helst komplekst tal.

${\ displaystyle z}$

Vi husker derefter den eksponentielle genereringsfunktion for Bernoulli-polynomierne

${\ displaystyle B_ {j} (x)}$

${\ displaystyle {\ frac {ze ^ {zx}} {e ^ {z} -1}} = \ sum _ {j = 0} ^ {\ infty} B_ {j} (x) {\ frac {z ^ {j}} {j!}},}$

hvor betegner Bernoulli-nummeret med konventionen . Dette kan konverteres til en genereringsfunktion med konventionen ved tilføjelse til koefficienten for i hver ( behøver ikke ændres):

${\ displaystyle B_ {j} = B_ {j} (0)}$

${\ displaystyle {\ begin {align} \ sum _ {j = 0} ^ {\ infty} B_ {j} ^ {+} (x) {\ frac {z ^ {j}} {j!}} = & {\ frac {ze ^ {zx}} {e ^ {z} -1}} + \ sum _ {j = 1} ^ {\ infty} jx ^ {j-1} {\ frac {z ^ {j} } {j!}} \\ = & {\ frac {ze ^ {zx}} {e ^ {z} -1}} + \ sum _ {j = 1} ^ {\ infty} x ^ {j-1 } {\ frac {z ^ {j}} {(j-1)!}} \\ = & {\ frac {ze ^ {zx}} {e ^ {z} -1}} + ze ^ {zx} \\ = & {\ frac {ze ^ {zx} + ze ^ {z + zx} -ze ^ {zx}} {e ^ {z} -1}} \\ = & {\ frac {ze ^ {zx }} {1-e ^ {- z}}} \ end {justeret}}}$

Det følger straks, at

${\ displaystyle S_ {p} (n) = {\ frac {B_ {p + 1} ^ {+} (n) -B_ {p + 1} ^ {+} (0)} {p + 1}}}$

for alle .

${\ displaystyle p}$

Alternative udtryk

• Ved ommærkning finder vi det alternative udtryk

${\ displaystyle \ sum _ {k = 1} ^ {n} k ^ {p} = \ sum _ {k = 0} ^ {p} {(- 1) ^ {pk} \ over k + 1} {p \ vælg k} B_ {pk} n ^ {k + 1}.}$

• Vi kan også udvide med hensyn til Bernoulli-polynomerne for at finde
  ${\ displaystyle G (z, n)}$

  ${\ displaystyle {\ begin {align} G (z, n) = & {\ frac {e ^ {(n + 1) z}} {e ^ {z} -1}} - {\ frac {e ^ { z}} {e ^ {z} -1}} \\ = & \ sum _ {j = 0} ^ {\ infty} \ left (B_ {j} (n + 1) - (- 1) ^ {j } B_ {j} \ højre) {\ frac {z ^ {j-1}} {j!}}, \ End {justeret}}}$

  

  hvilket indebærer

  ${\ displaystyle \ sum _ {k = 1} ^ {n} k ^ {p} = {\ frac {1} {p + 1}} \ left (B_ {p + 1} (n + 1) - (- 1) ^ {p + 1} B_ {p + 1} \ højre) = {\ frac {1} {p + 1}} \ venstre (B_ {p + 1} (n + 1) -B_ {p + 1 } (1) \ højre).}$

  

  Da når som helst er ulige, kan faktoren fjernes når .

  ${\ displaystyle B_ {n} = 0}$

  • Det kan også udtrykkes i form af Stirling-numre af den anden art og faldende fakta som

  ${\ displaystyle \ sum _ {k = 0} ^ {n} k ^ {p} = \ sum _ {k = 0} ^ {p} \ venstre \ {{p \ oven på k} \ højre \} {\ frac {(n + 1) _ {k + 1}} {k + 1}},}$

  

  ${\ displaystyle \ sum _ {k = 1} ^ {n} k ^ {p} = \ sum _ {k = 1} ^ {p + 1} \ venstre \ {{p + 1 \ oven på k} \ højre \ } {\ frac {(n) _ {k}} {k}}.}$

  

  Forhold til Riemann zeta-funktion

  Ved hjælp af kan man skrive

  ${\ displaystyle B_ {k} = - k \ zeta (1-k)}$

  ${\ displaystyle \ sum \ limits _ {k = 1} ^ {n} k ^ {p} = {\ frac {n ^ {p + 1}} {p + 1}} - \ sum \ limits _ {j = 0} ^ {p-1} {p \ vælg j} \ zeta (-j) n ^ {pj}.}$

  

  Hvis vi betragter genereringsfunktionen i den store grænse for , så finder vi

  ${\ displaystyle G (z, n)}$

  ${\ displaystyle \ lim _ {n \ rightarrow \ infty} G (z, n) = {\ frac {1} {e ^ {- z} -1}} = \ sum _ {j = 0} ^ {\ infty } (- 1) ^ {j-1} B_ {j} {\ frac {z ^ {j-1}} {j!}}}$

  

  Heuristisk antyder dette det

  ${\ displaystyle \ sum _ {k = 1} ^ {\ infty} k ^ {p} = {\ frac {(-1) ^ {p} B_ {p + 1}} {p + 1}}.}$

  

  Dette resultat stemmer overens med værdien af Riemann zeta-funktionen for negative heltal ved korrekt analytisk fortsættelse .

  ${\ displaystyle \ zeta (s) = \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {1} {n ^ {s}}}}$

  Umbral form

  I den klassiske umbral calculus man formelt behandler indeks j i en sekvens B _j , som om de var eksponenter, således at der i dette tilfælde kan vi anvende den binomial sætning og sige

  ${\ displaystyle \ sum _ {k = 1} ^ {n} k ^ {p} = {1 \ over p + 1} \ sum _ {j = 0} ^ {p} {p + 1 \ vælg j} B_ {j} n ^ {p + 1-j} = {1 \ over p + 1} \ sum _ {j = 0} ^ {p} {p + 1 \ vælg j} B ^ {j} n ^ {p + 1-j}}$

  

  
  

  ${\ displaystyle = {(B + n) ^ {p + 1} -B ^ {p + 1} \ over p + 1}.}$

  

  I den moderne umbral calculus betragter man den lineære funktionelle T på vektorrummet af polynomer i en variabel b givet af

  ${\ displaystyle T (b ^ {j}) = B_ {j}. \,}$

  

  Så kan man sige

  ${\ displaystyle \ sum _ {k = 1} ^ {n} k ^ {p} = {1 \ over p + 1} \ sum _ {j = 0} ^ {p} {p + 1 \ vælg j} B_ {j} n ^ {p + 1-j} = {1 \ over p + 1} \ sum _ {j = 0} ^ {p} {p + 1 \ vælg j} T (b ^ {j}) n ^ {p + 1-j}}$

  

  
  

  ${\ displaystyle = {1 \ over p + 1} T \ venstre (\ sum _ {j = 0} ^ {p} {p + 1 \ vælg j} b ^ {j} n ^ {p + 1-j} \ højre) = T \ venstre ({(b + n) ^ {p + 1} -b ^ {p + 1} \ over p + 1} \ højre).}$

  

  Bemærkninger

  eksterne links

  • Jacobi, Carl (1834). "De usu legitimo formulas summatoriae Maclaurinianae". Journal für die reine und angewandte Mathematik . 12 . s. 263–72.
  • Weisstein, Eric W. "Faulhabers formel" . MathWorld .
  • Johann Faulhaber (1631). Academia Algebrae - Darinnen die miraculosische Inventiones zu den höchsten Cossen weiters continuirt und profitiert werden .
    En meget sjælden bog, men Knuth har placeret en fotokopi i Stanford-biblioteket, kald nummer QA154.8 F3 1631a f MATH. ( online kopi hos Google Books )
  • Beardon, AF (1996). "Sums of Powers of Integers"
    (PDF)
    . Amerikansk matematisk månedlig . 103 (3): 201-213. doi : 10.1080 / 00029890.1996.12004725
    . Hentet

    23.10.2011
    .
    (Vinder af en Lester R. Ford Award )
  • Schumacher, Raphael (2016). "En udvidet version af Faulhabers formel"
    (PDF)
    . Journal of Integer Sequences . 19 .

  • Orosi, Greg (2018). "En simpel afledning af Faulhabers formel"
    (PDF)
    . Anvendt matematik E-noter . 18 . s. 124–126.