Liste over Mersenne-primtal og perfekte tal -
List of Mersenne primes and perfect numbers

Fra Wikipedia, den frie encyklopædi

Cuisenaire-stænger, der viser de korrekte divisorer af 6 (1, 2 og 3), der summerer op til 6
Visualisering af 6 som et perfekt tal
En graf, der plotter år på x-aksen med antallet af cifre af det største kendte primtal logaritmisk på y-aksen med to tendenslinjer
Logaritmisk graf over antallet af cifre i det største kendte primtal efter år, som næsten alle har været Mersenne-primtal

Mersenne-primtal og perfekte tal er to dybt forbundne typer af naturlige tal i talteorien . Mersenne-primtal, opkaldt efter munken Marin Mersenne , er primtal, der kan udtrykkes som

2 p − 1
for et positivt heltal
p
. For eksempel er
3
et Mersenne-primtal, da det er et primtal og kan udtrykkes som
2 2 − 1
. Tallene
p
, der svarer til Mersenne-primtal, skal selv være primtal, selvom ikke alle primtal
p
fører til Mersenne-primtal - for eksempel
2 11− 1 = 2047 = 23 × 89
. I mellemtiden er perfekte tal naturlige tal , der er lig med summen af ​​deres positive egentlige divisorer , som er divisorer eksklusive tallet selv. Så
6
er et perfekt tal, fordi de rigtige divisorer af
6
er
1, 2
og
3
, og
1 + 2 + 3 = 6
.

Der er en en-til-en overensstemmelse mellem Mersenne-primtallene og de lige perfekte tal. Dette skyldes Euklid-Eulers sætning , delvist bevist af Euklid og afsluttet af Leonhard Euler : lige tal er perfekte, hvis og kun hvis de kan udtrykkes i formen

2 p − 1 × (2 p − 1)
, hvor
2 p − 1
er et Mersenne-primtal. Med andre ord er alle tal, der passer til det udtryk, perfekte, mens alle endda perfekte tal passer til den form. For eksempel, i tilfælde af
p = 2
, er
2 2 − 1 = 3
primtal, og
2 2 − 1 × (2 2 − 1) = 2 × 3 = 6
er perfekt.

Det er i øjeblikket et åbent problem , om der er et uendeligt antal Mersenne-primtal og endda perfekte tal. Hyppigheden af ​​Mersenne-primtal er emnet for Lenstra-Pomerance-Wagstaff-formodningen , som siger, at det forventede antal Mersenne-primtal mindre end nogle givet

x
er
( e γ / log 2) × log log x
, hvor
e
er Eulers tal ,
γ
er Eulers konstant , og
log
er den naturlige logaritme . Det vides heller ikke, om der findes ulige perfekte tal; forskellige betingelser for mulige ulige perfekte tal er blevet bevist, herunder en nedre grænse
10 1500
.

for Mersenne-primtal, der er effektiv til binære computere.

De viste rækker er blandt indekser, der i øjeblikket er kendt fra 2022; mens det er usandsynligt, kan rækkerne ændre sig, hvis mindre bliver opdaget. Ifølge GIMPS er alle muligheder mindre end den 48. arbejdseksponent

p = 57.885.161
blevet kontrolleret og verificeret i oktober 2021. Opdagelsesåret og opdageren er af Mersennes primtal, da det perfekte tal umiddelbart følger efter Euklid-Eulers sætning. Opdagere angivet som "GIMPS / navn " henviser til GIMPS-opdagelser med hardware brugt af den pågældende person. Senere indtastninger er ekstremt lange, så kun de første og sidste 6 cifre af hvert nummer vises.

Tabel over alle 51 i øjeblikket kendte Mersenne-primtal og tilsvarende perfekte tal
Rang
s
Mersenne prime Mersenne primtal Perfekt nummer Perfekte talcifre Opdagelse Opdager Metode Ref.
1 2 3 1 6 1
Oldtiden
Kendt af oldgræske matematikere Uoptaget
2 3 7 1 28 2
3 5 31 2 496 3
4 7 127 3 8128 4
5 13 8191 4 33550336 8
c. 1456
Anonym Forsøgsdeling
6 17 131071 6 8589869056 10
1588
Pietro Cataldi
7 19 524287 6 137438691328 12
8 31 2147483647 10 230584...952128 19
1772
Leonhard Euler Prøveopdeling med modulære begrænsninger
9 61 230584...693951 19 265845...842176 37
november 1883
Ivan M. Pervushin Lucas sekvenser
10 89 618970...562111 27 191561...169216 54
juni 1911
Ralph Ernest Powers
11 107 162259...288127 33 131640...728128 65
1. juni 1914
12 127 170141...105727 39 144740...152128 77
10. januar 1876
Édouard Lucas
13 521 686479...057151 157 235627...646976 314
30. januar 1952
Raphael M. Robinson LLTSWAC
14 607 531137...728127 183 141053...328128 366
15 1.279 104079...729087 386 541625...291328 770
25. juni 1952
16 2.203 147597...771007 664 108925...782528 1.327
7. oktober 1952
17 2.281 446087...836351 687 994970...915776 1.373
9. oktober 1952
18 3.217 259117...315071 969 335708...525056 1.937
8. september 1957
Hans Riesel LLT på BESK
19 4.253 190797...484991 1.281 182017...377536 2.561
3. november 1961
Alexander Hurwitz LLT på IBM 7090
20 4.423 285542...580607 1.332 407672...534528 2.663
21 9.689 478220...754111 2.917 114347...577216 5.834
11. maj 1963
Donald B. Gillies LLT om ILLIAC II
22 9.941 346088...463551 2.993 598885...496576 5.985
16. maj 1963
23 11.213 281411...392191 3.376 395961...086336 6.751
2. juni 1963
24 19.937 431542...041471 6.002 931144...942656 12.003
4. marts 1971
Bryant Tuckerman LLT på IBM 360 /91
25 21.701 448679...882751 6.533 100656...605376 13.066
30. oktober 1978
Landon Curt Noll og Laura Nickel LLT på CDC Cyber 174
26 23.209 402874...264511 6.987 811537...666816 13.973
9. februar 1979
Landon Curt Noll
27 44.497 854509...228671 13.395 365093...827456 26.790
8. april 1979
Harry L. Nelson & David Slowinski LLT på Cray-1
28 86.243 536927...438207 25.962 144145...406528 51.924
25. september 1982
David Slowinski
29 110.503 521928...515007 33.265 136204...862528 66.530
29. januar 1988
Walter Colquitt og Luke Welsh LLT på NEC SX -2
30 132.049 512740...061311 39.751 131451...550016 79.502
19. september 1983
David Slowinski et al. ( Cray ) LLT på Cray X-MP
31 216.091 746093...528447 65.050 278327...880128 130.100
1. september 1985
LLT på Cray X-MP/24
32 756.839 174135...677887 227.832 151616...731328 455.663
17. februar 1992
33 859.433 129498...142591 258.716 838488...167936 517.430
4. januar 1994
LLT på Cray C90
34 1.257.787 412245...366527 378.632 849732...704128 757.263
3. september 1996
LLT på Cray T94
35 1.398.269 814717...315711 420.921 331882...375616 841.842
13. november 1996
GIMPS / Joel Armengaud LLT / Prime95 på 90 MHz Pentium PC
36 2.976.221 623340...201151 895.932 194276...462976 1.791.864
24. august 1997
GIMPS / Gordon Spence LLT / Prime95 på 100 MHz Pentium PC
37 3.021.377 127411...694271 909.526 811686...457856 1.819.050
27. januar 1998
GIMPS / Roland Clarkson LLT / Prime95 på 200 MHz Pentium PC
38 6.972.593 437075...193791 2.098.960 955176...572736 4.197.919
1. juni 1999
GIMPS / Nayan Hajratwala LLT / Prime95 på IBM Aptiva med 350 MHz Pentium II - processor
39 13.466.917 924947...259071 4.053.946 427764...021056 8.107.892
14. november 2001
GIMPS / Michael Cameron LLT / Prime95 på pc med 800 MHz Athlon T-Bird- processor
40 20.996.011 125976...682047 6.320.430 793508...896128 12.640.858
17. november 2003
GIMPS / Michael Shafer LLT / Prime95 på Dell Dimension -pc med 2 GHz Pentium 4 - processor
41 24.036.583 299410...969407 7.235.733 448233...950528 14.471.465
15. maj 2004
GIMPS / Josh Findley LLT / Prime95 på pc med 2,4 GHz Pentium 4-processor
42 25.964.951 122164...077247 7.816.230 746209...088128 15.632.458
18. februar 2005
GIMPS / Martin Nowak
43 30.402.457 315416...943871 9.152.052 497437...704256 18.304.103
15. december 2005
GIMPS / Curtis Cooper & Steven Boone LLT / Prime95 på pc ved University of Central Missouri
44 32.582.657 124575...967871 9.808.358 775946...120256 19.616.714
4. september 2006
45 37.156.667 202254...220927 11.185.272 204534...480128 22.370.543
6. september 2008
GIMPS / Hans-Michael Elvenich LLT / Prime95 på pc
46 42.643.801 169873...314751 12.837.064 144285...253376 25.674.127
4. juni 2009
GIMPS / Odd Magnar Strindmo LLT / Prime95 på pc med 3 GHz Intel Core 2 - processor
47 43.112.609 316470...152511 12.978.189 500767...378816 25.956.377
23. august 2008
GIMPS / Edson Smith LLT / Prime95 på Dell OptiPlex -pc med Intel Core 2 Duo E6600-processor
48 57.885.161 581887...285951 17.425.170 169296...130176 34.850.340
25. januar 2013
GIMPS / Curtis Cooper LLT / Prime95 på pc ved University of Central Missouri
* 59.451.331 Laveste ubekræftede milepæl
49 74.207.281 300376...436351 22.338.618 451129...315776 44.677.235
7. januar 2016
GIMPS / Curtis Cooper LLT / Prime95 på pc med Intel Core i7-4790-processor
50 77.232.917 467333...179071 23.249.425 109200...301056 46.498.850
26. december 2017
GIMPS / Jonathan Pace LLT / Prime95 på pc med Intel Core i5-6600-processor
51 82.589.933 148894...902591 24.862.048 110847...207936 49.724.095
7. december 2018
GIMPS / Patrick Laroche LLT / Prime95 på pc med Intel Core i5-4590T-processor
* 107.148.487 Laveste utestede milepæl

Noter

Referencer