(
1
+
5
)
/
2
{\displaystyle (1+{\sqrt {5}})/2}
x
2
−
x
−
1
=
0.
{\displaystyle x^{2}-x-1=0.}
Når der ikke er noget algebraisk udtryk for rødderne, og når et sådant algebraisk udtryk eksisterer, men er for kompliceret til at være nyttigt, er den unikke måde at løse på at beregne numeriske tilnærmelser af løsningerne. Det er der mange metoder til; nogle er begrænset til polynomier og andre kan gælde for enhver kontinuerlig funktion . De mest effektive algoritmer tillader let (på en computer ) at løse polynomialligninger med grader højere end 1.000 (se Rodfindingsalgoritme ).
For polynomier i mere end én ubestemmelig, kaldes kombinationerne af værdier for de variable, for hvilke polynomiefunktionen tager værdien nul, generelt nuller i stedet for "rødder". Studiet af sæt af nuller af polynomier er genstand for algebraisk geometri . For et sæt polynomiumligninger i flere ukendte er der algoritmer til at afgøre, om de har et endeligt antal komplekse løsninger, og, hvis dette tal er endeligt, til at beregne løsningerne. Se System af polynomialligninger .
Det specielle tilfælde, hvor alle polynomier er af grad et, kaldes et system af lineære ligninger , for hvilke der findes en anden række forskellige løsningsmetoder , herunder den klassiske Gauss-eliminering .
En polynomielligning, som man kun er interesseret i løsningerne, som er heltal , kaldes en diophantisk ligning . At løse diophantiske ligninger er generelt en meget svær opgave. Det er blevet bevist, at der ikke kan være nogen generel algoritme til at løse dem, og endda til at afgøre, om mængden af løsninger er tom (se Hilberts tiende problem ). Nogle af de mest berømte problemer, der er blevet løst i løbet af de sidste halvtreds år, er relateret til diofantiske ligninger, såsom Fermats sidste sætning .
Generaliseringer
Der er flere generaliseringer af begrebet polynomier.
Trigonometriske polynomier
Et trigonometrisk polynomium er en endelig lineær kombination af funktionerne sin( nx ) og cos( nx ), hvor n antager værdierne af et eller flere naturlige tal . Koefficienterne kan tages som reelle tal for funktioner med reel værdi.
Hvis sin( nx ) og cos( nx ) udvides i form af sin( x ) og cos( x ), bliver et trigonometrisk polynomium et polynomium i de to variable sin( x ) og cos( x ) (ved hjælp af Liste over trigonometriske identiteter ) #Formler med flere vinkler ). Omvendt kan hvert polynomium i sin( x ) og cos( x ) konverteres med produkt-til-sum identiteter til en lineær kombination af funktionerne sin( nx ) og cos( nx ). Denne ækvivalens forklarer, hvorfor lineære kombinationer kaldes polynomier.
For komplekse koefficienter er der ingen forskel mellem en sådan funktion og en endelig Fourierrække .
Trigonometriske polynomier er meget udbredt, for eksempel i trigonometrisk interpolation anvendt til interpolation af periodiske funktioner . De bruges også i den diskrete Fourier-transformation .
Matrix polynomier
Et matrixpolynomium er et polynomium med kvadratiske matricer som variable. Givet et almindeligt, skalarvurderet polynomium
P
(
x
)
=
∑
jeg
=
0
n
-en
jeg
x
jeg
=
-en
0
+
-en
1
x
+
-en
2
x
2
+
⋯
+
-en
n
x
n
,
{\displaystyle P(x)=\sum _{i=0}^{n}{a_{i}x^{i}}=a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{ 2}+\cdots +a_{n}x^{n},}
dette polynomium vurderet ved en matrix A er
P
(
EN
)
=
∑
jeg
=
0
n
-en
jeg
EN
jeg
=
-en
0
jeg
+
-en
1
EN
+
-en
2
EN
2
+
⋯
+
-en
n
EN
n
,
{\displaystyle P(A)=\sum _{i=0}^{n}{a_{i}A^{i}}=a_{0}I+a_{1}A+a_{2}A^ {2}+\cdots +a_{n}A^{n},}
hvor I er identitetsmatrixen .
En matrixpolynomialligning er en lighed mellem to matrixpolynomier, som gælder for de pågældende specifikke matricer. En matrixpolynomiel identitet er en matrixpolynomielligning, som gælder for alle matricer A i en specificeret matrixring Mn ( R ) .
Laurents polynomier
Laurent-polynomier er ligesom polynomier, men tillader negative potenser af variablen/variablerne at forekomme.
Rationelle funktioner
En rationel brøk er kvotienten ( algebraisk brøk ) af to polynomier. Ethvert algebraisk udtryk , der kan omskrives som en rationel brøk, er en rationel funktion .
Mens polynomiefunktioner er defineret for alle værdier af variablerne, er en rationel funktion kun defineret for værdierne af de variable, for hvilke nævneren ikke er nul.
De rationelle brøker inkluderer Laurent-polynomier, men begrænser ikke nævnere til potenser af en ubestemt.
Power serie
Formelle potensrækker er som polynomier, men tillader uendeligt mange ikke-nul-led at forekomme, så de ikke har en endelig grad. I modsætning til polynomier kan de generelt ikke skrives eksplicit og fuldstændigt ned (ligesom irrationelle tal ikke kan), men reglerne for at manipulere deres termer er de samme som for polynomier. Ikke-formelle potensrækker generaliserer også polynomier, men multiplikationen af to potensrækker konvergerer muligvis ikke.
Andre eksempler
Et bivariat polynomium, hvor den anden variabel er substitueret med en eksponentiel funktion anvendt på den første variabel, for eksempel
P ( x , e x
, kan kaldes et eksponentielt polynomium .
Polynomial ring
Et polynomium
f
over en kommutativ ring R
er et polynomium, hvis koefficienter hører til R
. Det er ligetil at verificere, at polynomierne i et givet sæt af indeterminates over R
danner en kommutativ ring, kaldet polynomialringen i disse indeterminates, angivet i det univariate tilfælde og i det multivariate tilfælde.
R
[
x
]
{\displaystyle R[x]}
R
[
x
1
,
…
,
x
n
]
{\displaystyle R[x_{1},\ldots ,x_{n}]}
Man har
R
[
x
1
,
…
,
x
n
]
=
(
R
[
x
1
,
…
,
x
n
−
1
]
)
[
x
n
]
.
{\displaystyle R[x_{1},\ldots ,x_{n}]=\left(R[x_{1},\ldots,x_{n-1}]\right)[x_{n}].}
Så det meste af teorien om det multivariate tilfælde kan reduceres til et itereret univariat tilfælde.
Kortet fra
R
til R [ x ] ,
der sender r
til sig selv betragtet som et konstant polynomium , er en injektiv ringhomomorfi , hvor R
ses som en underring af R [ x ]
. Især R [ x ]
er
en
Man kan tænke på ringen
R [ x ]
som opstået af R
ved at tilføje et nyt element x til R , og på en minimal måde udvides til en ring, hvor x
ikke opfylder andre relationer end de obligatoriske, plus kommutering med alle elementer af R
(det vil sige xr = rx
). For at gøre dette skal man tilføje alle potenser af x
og deres lineære kombinationer også.
Dannelse af polynomialringen, sammen med dannelse af faktorringe ved at faktorisere idealer , er vigtige værktøjer til at konstruere nye ringe ud af kendte. For eksempel ringen (faktisk felt) af komplekse tal, som kan konstrueres ud fra polynomiets ring
R [ x ]
over de reelle tal ved at faktorisere idealet af multipla af polynomiet x 2 + 1
. Et andet eksempel er konstruktionen af endelige felter , som forløber på samme måde, idet man starter med feltet af heltal modulo et eller andet primtal som koefficientringen R
(se modulær aritmetik ).
Hvis
R
er kommutativ, så kan man til hvert polynomium P
i R [ x ]
associere en polynomiefunktion f
med domæne og område lig med R
. (Mere generelt kan man tage domæne og område for at være en hvilken som helst samme unital associativ algebra over R
.) Man opnår værdien f ( r )
ved at erstatte værdien r
med symbolet x
i P
. En grund til at skelne mellem polynomier og polynomiefunktioner er, at forskellige polynomier over nogle ringe kan give anledning til den samme polynomiefunktion (se Fermats lille sætning for et eksempel, hvor R
er de heltal modulo p
). Dette er ikke tilfældet, når R
er de reelle eller komplekse tal, hvorfra de to begreber ikke altid skelnes i analysen . En endnu vigtigere grund til at skelne mellem polynomier og polynomier er, at mange operationer på polynomier (som euklidisk division ) kræver, at man ser på, hvad et polynomium er sammensat af som et udtryk i stedet for at vurdere det til en eller anden konstant værdi for x
.
Delbarhed
.
-en
∈
R
,
{\displaystyle a\in R,}
x
−
-en
{\displaystyle xa}
Hvis
F
er et felt, og f
og g
er polynomier i F [ x ]
med g ≠ 0
, så eksisterer der unikke polynomier q
og r
i F [ x ]
med
f
=
q
g
+
r
{\displaystyle f=q\,g+r}
og sådan, at graden af
r
er mindre end graden af g
(ved at bruge konventionen om, at polynomiet 0 har en negativ grad). Polynomierne q
og r
er entydigt bestemt af f
og g
. Dette kaldes euklidisk division , division med restpolynomiel lang division og viser, at ringen F [ x ]
er et euklidisk domæne .
Analogt kan prime polynomier (mere korrekt, irreducible polynomier polynomier, der ikke er nul, og som ikke kan faktoriseres til produktet af to ikke-konstante polynomier . I tilfælde af koefficienter i en ring skal "ikke-konstant" erstattes af "ikke-konstant eller ikke- enhed " (begge definitioner stemmer overens i tilfælde af koefficienter i et felt). Ethvert polynomium kan dekomponeres til produktet af en inverterbar konstant af et produkt af irreducerbare polynomier. Hvis koefficienterne tilhører et felt eller et unikt faktoriseringsdomæne, er denne dekomponering unik op til rækkefølgen af faktorerne og multiplikationen af enhver ikke-enhedsfaktor med en enhed (og division af enhedsfaktoren med den samme enhed). Når koefficienterne tilhører heltal, rationale tal eller et endeligt felt, er der algoritmer til at teste irreducerbarhed og til at beregne faktoriseringen til irreducerbare polynomier (se Faktorisering af polynomier ). Disse algoritmer er ikke praktisk anvendelige til håndskrevne beregninger, men er tilgængelige i ethvert computeralgebrasystem . Eisensteins kriterium kan også bruges i nogle tilfælde til at bestemme irreducerbarhed.
Ansøgninger
Positionsnotation
I moderne positionstalsystemer, såsom decimalsystemet , er cifrene og deres positioner i repræsentationen af et heltal, for eksempel 45, en stenografi for et polynomium i radixen eller grundtallet, i dette tilfælde
4 × 10 1 + 5 × 10 0
. Som et andet eksempel, i radix 5, angiver en række af cifre såsom 132 (decimal)tallet 1 × 5 2 + 3 × 5 1 + 2 × 5 0
= 42. Denne repræsentation er unik. Lad b være et positivt heltal større end 1. Så kan hvert positivt heltal a udtrykkes entydigt i formen
-en
=
r
m
b
m
+
r
m
−
1
b
m
−
1
+
⋯
+
r
1
b
+
r
0
,
{\displaystyle a=r_{m}b^{m}+r_{m-1}b^{m-1}+\dotsb +r_{1}b+r_{0},}
hvor m er et ikke-negativt heltal, og r'erne er heltal, således at
Interpolation og tilnærmelse
Den simple struktur af polynomielle funktioner gør dem ret nyttige til at analysere generelle funktioner ved hjælp af polynomielle tilnærmelser. Et vigtigt eksempel i calculus er Taylors sætning , som groft sagt siger, at hver differentierbar funktion lokalt ligner en polynomiefunktion, og Stone-Weierstrass-sætningen , som siger, at enhver kontinuert funktion defineret på et kompakt interval af den reelle akse kan tilnærmes på hele interval så tæt som ønsket af en polynomiel funktion. Praktiske metoder til tilnærmelse omfatter polynomiel interpolation og brugen af splines .
Andre applikationer
Polynomier bruges ofte til at kode information om et andet objekt. Det karakteristiske polynomium for en matrix eller lineær operator indeholder information om operatorens egenværdier . Det minimale polynomium af et algebraisk element registrerer den enkleste algebraiske relation, som dette element opfylder. Det kromatiske polynomium i en graf tæller antallet af korrekte farver på denne graf.
, er afgrænset af en polynomiel funktion af en eller anden variabel, såsom størrelsen af input.
Historie
Bestemmelse af rødderne af polynomier, eller "løsning af algebraiske ligninger", er blandt de ældste problemer i matematik. Den elegante og praktiske notation, vi bruger i dag, udviklede sig dog først i det 15. århundrede. Før det blev ligninger skrevet ud i ord. For eksempel begynder et algebraproblem fra den kinesiske aritmetik i ni sektioner , omkring 200 fvt. "Tre bunker med god afgrøde, to bunker med middelmådig afgrøde og en bunke dårlig afgrøde sælges for 29 dou." Vi ville skrive
3 x + 2 y + z = 29
.
Notationens historie
Den tidligst kendte brug af lighedstegnet er i Robert Recordes The Whetstone of Witte Michael Stifels Arithemetica integra , 1544 René Descartes , i La géometrie , 1637, introducerede begrebet grafen for en polynomialligning. Han populariserede brugen af bogstaver fra begyndelsen af alfabetet til at betegne konstanter og bogstaver fra slutningen af alfabetet for at betegne variable, som det kan ses ovenfor, i den generelle formel for et polynomium i én variabel, hvor
a'erne
angiver konstanter og x
angiver en variabel. Descartes introducerede brugen af superscripts til at betegne eksponenter også.
Se også
Noter
Referencer
Barbeau, EJ (2003). Polynomier ISBN 978-0-387-40627-5
Bronstein, Manuel; et al., red. (2006). Løsning af polynomiumligninger: fundamenter, algoritmer og applikationer ISBN 978-3-540-27357-8
Cahen, Paul-Jean; Chabert, Jean-Luc (1997). Heltalsværdierede polynomier ISBN 978-0-8218-0388-2
Leung, Kam-tim; et al. (1992). Polynomier og ligninger ISBN 9789622092716
Mayr, K. (1937). "Über die Auflösung algebraischer Gleichungssysteme durch hypergeometrische Funktionen". Monatshefte für Mathematik und Physik . 45 : 280-313. doi : 10.1007/BF01707992 . S2CID 197662587 .
McCoy, Neal H. (1968), Introduction To Modern Algebra, Revised Edition , Boston: Allyn and Bacon , LCCN 68015225
Prasolov, Victor V. (2005). Polynomier ISBN 978-3-642-04012-2
Sethuraman, BA (1997). "Polynomier" . . Springer. ISBN 978-0-387-94848-5
Umemura, H. (2012) [1984]. "Opløsning af algebraiske ligninger ved theta-konstanter" . I Mumford, David (red.). Tata-forelæsninger om Theta II: Jacobianske theta-funktioner og differentialligninger . Springer. s. 261–. ISBN 978-0-8176-4578-6
von Lindemann, F. (1884). "Ueber die Auflösung der algebraischen Gleichungen durch transcendente Functionen" . Nachrichten von der Königl. Gesellschaft der Wissenschaften und der Georg-Augusts-Universität zu Göttingen . 1884 : 245–8.
von Lindemann, F. (1892). "Ueber die Auflösung der algebraischen Gleichungen durch transcendente Functionen. II" . Nachrichten von der Königl. Gesellschaft der Wissenschaften und der Georg-Augusts-Universität zu Göttingen . 1892 : 245–8.
eksterne links
Slå polynomium
<img src="//en.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">
