Polynomium -
Polynomial

Fra Wikipedia, den frie encyklopædi

I matematik er et polynomium et udtryk, der består af ubestemte (også kaldet variable ) og koefficienter , der kun involverer operationerne addition , subtraktion , multiplikation og ikke-negativ heltalseksponentiering af variable . Et eksempel på et polynomium af et enkelt ubestemt

x
er
x 2 − 4 x + 7
. Et eksempel i tre variable er
x 3 + 2 xyz 2yz+ 1
.

Polynomier optræder i mange områder af matematik og naturvidenskab. For eksempel bruges de til at danne polynomieligninger , som koder for en lang række problemer, fra elementære ordproblemer til komplicerede videnskabelige problemer; de bruges til at definere polynomielle funktioner , som optræder i omgivelser lige fra grundlæggende kemi og fysik til økonomi og samfundsvidenskab ; de bruges i calculus og numerisk analyse til at tilnærme andre funktioner. I avanceret matematik bruges polynomier til at konstruere polynomiumringe og algebraiske varianter , som er centrale begreber i algebra og algebraisk geometri .

Etymologi

Ordet polynomium forbinder to forskellige rødder : det græske poly , der betyder "mange", og det latinske nomen eller "navn". Det blev afledt af udtrykket binomial ved at erstatte den latinske rod bi- med den græske poly- . Det vil sige, det betyder en sum af mange udtryk (mange monomialer ). Ordet polynomium blev første gang brugt i det 17. århundrede.

Notation og terminologi

Grafen for en polynomisk funktion af grad 3

Det x , der forekommer i et polynomium, kaldes almindeligvis en variabel eller en ubestemt . Når polynomiet betragtes som et udtryk, er x et fast symbol, som ikke har nogen værdi (dets værdi er "ubestemt"). Men når man betragter funktionen defineret af polynomiet, så repræsenterer x funktionens argument og kaldes derfor en "variabel". Mange forfattere bruger disse to ord i flæng.

Et polynomium P i det ubestemte x betegnes almindeligvis enten som P eller som P ( x ). Formelt er navnet på polynomiet P , ikke P ( x ), men brugen af ​​den funktionelle notation P ( x ) stammer fra en tid, hvor skelnen mellem et polynomium og den tilhørende funktion var uklar. Desuden er den funktionelle notation ofte nyttig til at specificere, i en enkelt sætning, et polynomium og dets ubestemte. For eksempel er "lad P ( x ) være et polynomium" en forkortelse for "lad P være et polynomium i det ubestemte x ". På den anden side, når det ikke er nødvendigt at understrege navnet på det ubestemte, er mange formler meget enklere og lettere at læse, hvis navnet/navnene på de ubestemte(r) ikke optræder ved hver forekomst af polynomiet.

funktionen

som er den polynomielle funktion forbundet med P . Når man bruger denne notation, antager man ofte, at a er et tal. Man kan dog bruge det over ethvert domæne, hvor addition og multiplikation er defineret (det vil sige enhver ring ). Især hvis a er et polynomium, så er P ( a ) også et polynomium.

Mere specifikt, når a er det ubestemte x , så er billedet af x ved denne funktion selve polynomiet P (at erstatte x med x ændrer ikke noget). Med andre ord,

hvilket formelt retfærdiggør eksistensen af ​​to notationer for det samme polynomium.

Definition

Et polynomielt udtryk er et udtryk , der kan bygges ud fra konstanter og symboler kaldet variable eller ubestemte ved hjælp af addition , multiplikation og eksponentiering til en ikke-negativ heltalspotens . Konstanterne er generelt tal , men kan være ethvert udtryk, der ikke involverer de ubestemte, og repræsenterer matematiske objekter , der kan adderes og ganges. To polynomielle udtryk anses for at definere det samme polynomium , hvis de kan transformeres, den ene til den anden, ved at anvende de sædvanlige egenskaber for kommutativitet , associativitet og fordelingsevne ved addition og multiplikation. For eksempel og er to polynomieudtryk, der repræsenterer det samme polynomium; så, skriver man

Et polynomium i et enkelt ubestemt

x
kan altid skrives (eller omskrives) i formen

.