Firkantet pyramidetal -

Square pyramidal number

De pyramideformede tal var en af ​​de få typer af tredimensionelle figurtal, der blev studeret i græsk matematik , i værker af Nicomachus , Theon of Smyrna og Iamblichus . Formler til at summere på hinanden følgende kvadrater for at give et kubisk polynomium, hvis værdier er kvadratiske pyramidetal, er givet af Archimedes , der brugte denne sum som et lemma som en del af en undersøgelse af rumfanget af en kegle , og af Fibonacci , som en del af en mere generel løsning på problemet med at finde formler for summer af progressioner af kvadrater. De firkantede pyramidetal var også en af ​​familierne af figurtal, studeret af japanske matematikere fra wasan-perioden, som kaldte dem "kirei saijo suida".

Det samme problem, formuleret som et med at tælle kanonkuglerne i en firkantet pyramide, stillede Walter Raleigh til matematikeren Thomas Harriot i slutningen af ​​1500-tallet, mens begge var på en sørejse. Kanonkugleproblemet , der spørger, om der er nogen kvadratiske pyramidetal, der også er andre kvadrattal end 1 og 4900, siges at være udviklet ud af denne udveksling. Édouard Lucas fandt pyramiden med 4900 kugler med et kvadratant antal kugler, og ved at gøre kanonkugleproblemet mere kendt, foreslog han, at det var den eneste ikke-trivielle løsning. Efter ufuldstændige beviser af Lucas og Claude-Séraphin Moret-Blanc blev det første fuldstændige bevis på, at der ikke eksisterer andre sådanne tal, givet af GN Watson i 1918.

Afspil medier

Hvis kugler er pakket ind i kvadratiske pyramider, hvis antal lag er 1, 2, 3 osv., så er de kvadratiske pyramidetal, der giver antallet af kugler i hver pyramide:

Disse tal kan beregnes algebraisk som følger. Hvis en pyramide af kugler nedbrydes i sine kvadratiske lag med et kvadratisk antal kugler i hver, så kan det samlede antal kugler tælles som summen af ​​antallet af kugler i hver kvadrat,

${\displaystyle P_{n}}$

$${\displaystyle P_{n}=\sum _{k=1}^{n}k^{2}=1+4+9+\cdots +n^{2},}$$

og denne summering kan løses til at give et kubisk polynomium , som kan skrives på flere ækvivalente måder:

$${\displaystyle P_{n}={\frac {n(n+1)(2n+1)}{6}}={\frac {2n^{3}+3n^{2}+n}{6} }={\frac {n^{3}}{3}}+{\frac {n^{2}}{2}}+{\frac {n}{6}}.}$$

Denne ligning for en sum af kvadrater er et specialtilfælde af Faulhabers formel for summen af ​​potenser og kan bevises ved matematisk induktion . .

Geometrisk opregning

Alle 30 firkanter i et 4×4-gitter

kvadratnet. Dette tal kan udledes som følger:

• Antallet af
  1 × 1
  kvadrater fundet i gitteret er
  n ²
  .
• Antallet af
  2 × 2
  kvadrater fundet i gitteret er
  ( n − 1) ²
  . Disse kan tælles ved at tælle alle de mulige øverste venstre hjørner af
  2 × 2
  kvadrater.
• Antallet af
  k × k
  kvadrater
  (1 ≤ k ≤ n )
  fundet i gitteret er
  ( n − k + 1) ²
  . Disse kan tælles ved at tælle alle de mulige øverste venstre hjørner af
  k × k
  kvadrater.

Det følger heraf, at antallet af kvadrater i et

n × n

kvadratnet er:

$${\displaystyle n^{2}+(n-1)^{2}+(n-2)^{2}+(n-3)^{2}+\ldots ={\frac {n(n+ 1)(2n+1)}{6}}.}$$

Det vil sige, at løsningen på puslespillet er givet ved det . betragtes som ækvivalent, antallet af matricer med ikke-negative heltalskoefficienter, der summeres til , for ulige værdier af , er et kvadratisk pyramidetal.

${\displaystyle P_{n}}$

Relationer til andre figurtal

En firkantet pyramide af kanonkugler på Rye Castle i England

4900 kugler arrangeret som en firkantet pyramide på side 24 og en firkant på side 70

Kanonkugleproblemet spørger efter størrelsen af ​​pyramider af kanonkugler, der også kan spredes ud for at danne en firkantet række, eller tilsvarende, hvilke tal er både firkantede og firkantede pyramideformede. Udover 1 er der kun ét andet tal, der har denne egenskab: 4900, som er både det 70. kvadrattal og det 24. kvadratiske pyramidetal.

De kvadratiske pyramidetal kan udtrykkes som summer af binomiale koefficienter :

$${\displaystyle P_{n}={\binom {n+2}{3}}+{\binom {n+1}{3}}.}$$

De binomiale koefficienter, der forekommer i denne repræsentation, er tetraedriske tal , og denne formel udtrykker et kvadratisk pyramidetal som summen af ​​to tetraedriske tal på samme måde som kvadrattal er summen af ​​to på hinanden følgende trekanttal . Hvis et tetraeder reflekteres hen over en af ​​dets ansigter, danner de to kopier en trekantet bipyramide . De firkantede pyramidetal er også figurnumrene for de trekantede bipyramide, og denne formel kan tolkes som en lighed mellem de firkantede pyramidetal og de trekantede bipyramidetal. Analogt frembringer reflektering af en kvadratisk pyramide på tværs af dens basis et oktaeder, hvoraf det følger, at hvert oktaedrisk tal er summen af ​​to på hinanden følgende kvadratiske pyramidetal.

Firkantede pyramidetal er også relateret til tetraedriske tal på en anden måde: Punkterne fra fire kopier af den samme firkantede pyramide kan omarrangeres til at danne et enkelt tetraeder med dobbelt så mange punkter langs hver kant. Det er,

$${\displaystyle 4P_{n}=T_{2n}={\binom {2n+2}{3}}.}$$

Andre ejendomme

, selvom den konvergerer hurtigere. Det er:

$${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{i=1}^{\infty }&(-1)^{i-1}{\frac {1}{P_{i}}}\\&= 1-{\frac {1}{5}}+{\frac {1}{14}}-{\frac {1}{30}}+{\frac {1}{55}}-{\frac { 1}{91}}+{\frac {1}{140}}-{\frac {1}{204}}+\cdots \\&=6(\pi -3)\\&\ca. 0,849556.\ \\end{aligned}}}$$

I tilnærmelsesteori danner sekvenserne af ulige tal, summer af ulige tal (kvadrattal), summer af kvadrattal (kvadratpyramidetal) osv., koefficienterne i en metode til at konvertere Chebyshev-tilnærmelser til polynomier .

Referencer

eksterne links

• Weisstein, Eric W. , "Square Pyramidal Number" , MathWorld